Question

18．已知f（x）=3ax²-2ax+1在区间[-1，1]上有且只有一个零点，则实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先确定对称轴属于区间[-1，1]，函数f（x）有唯一零点时△=0确定一个值；当△大于零0时，分开口向上和向下两种情况讨论．

解答 解：∵f（x）=3ax²-2ax+1是二次函数则a≠0，对称轴为x=$\frac{1}{3}$∈[-1，1]；
①△=0时4a²-12a=0∴a=3或a=0（舍去）；
②△＞0时，
当a＞0时开口向上，∴$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）＜0\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥-\frac{1}{5}\\ a＜-1\end{array}\right.$∴无解；
当a＜0时开口向下，∴$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≤0\\ f（1）＞0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≤-\frac{1}{5}\\ a＞-1\end{array}\right.$，∴-1＜a≤-$\frac{1}{5}$，
实数a的取值范围：{3}或{a|-1＜a≤-$\frac{1}{5}$}．

点评 本题主要考查函数零点问题．注意零点不是点，是函数f（x）=0时，x的值．