Question

9．直线y=x-m与抛物线y²=2x相交于A，B两点，且OA⊥OB求直线AB的方程．并求弦长．

Answer 1

分析 联立直线和抛物线方程，化为关于x的一元二次方程后利用根与系数关系求出两个交点A，B的横纵坐标的乘积，再由OA⊥OB代入坐标，联立后即可求得m的值．得到直线方程，弦长公式求出|AB|．

解答 解：直线方程代入抛物线方程整理得：
x²-（2m+2）x+m²=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=2+2m，x₁x₂=m²
y₁y₂=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²=2m²-2m-2m²=-2m，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
则m²-2m=0
∴m=2（0舍去），
直线AB的方程为：y=x-2．
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-{x}_{1}|$=$\sqrt{2}$$•\sqrt{（2+2m）^{2}-4{m}^{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{36-16}$=2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，解答此类问题的常用方法是借助于一元二次方程的根与系数关系，然后结合已知条件列式求解，是中档题．