Question

7．A是直线l：y=3x上一点，且在第一象限，B的坐标为（3，2），直线AB交x轴正半轴于C，求使S_△AOC最小时A点的坐标，并求此最小值．（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 设点A（a 3a），a＞0，点C坐标为（b，0），b＞0，则直线AB的斜率为$\frac{3a-2}{a-3}$=$\frac{-2}{b-3}$，解得 b 的值，求得B的坐标，表示出△OAB面积，利用判别式大于或等于零求出S的最小值，并求出此时a的值 即可得到B的坐标．

解答 解：设点A（a 3a），a＞0，点C坐标为（b，0），b＞0，
则直线AB的斜率为$\frac{3a-2}{a-3}$=$\frac{-2}{b-3}$，解得 b=$\frac{7a}{3a-2}$，
故C的坐标为（$\frac{7a}{3a-2}$，0），
故△OAB面积为 S=$\frac{1}{2}$×$\frac{7a}{3a-2}$×3a=$\frac{21{a}^{2}}{6a-4}$，
即21a²-6Sa+4S=0．
由题意可得方程21a²-6Sa+4S=0有解，
故判别式△=36S²-336S≥0，
S≥$\frac{28}{3}$，故S的最小值等于$\frac{28}{3}$，此时，
方程为21a²-56a+$\frac{112}{3}$=0，解得 a=$\frac{4}{3}$．
综上可得，△OAB面积的最小值为$\frac{28}{3}$，当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（$\frac{4}{3}$，4）．

点评 本题主要考查直线的一般式方程的应用，直线的斜率公式，一元二次方程有解得条件，属于中档题．