Question

已知：函数f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m，（其中θ，m为常数，0＜θ＜

π

2

）图象的一个对称中心是(

π

4

， 2)．
（I）求θ和m的值；
（II）求f（x）的单调递减区间；
（III） 求满足log

1

2

f(x)＞0的x的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m，我们易根据二倍角公式，及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，又由函数图象的一个对称中心是(

π

4

， 2)．我们可以构造关于θ和m的方程，解方程即可求出θ和m的值．
（II）根据（I）的结论我们易得到函数f（x）的解析式，根据余弦函数的单调性，我们易求出f（x）的单调递减区间；
（III）利用的运算性质，我们可将不等式log

1

2

f(x)＞0转化为一个三角函数不等式，然后根据（II）的结论，将不等式化为最简形式后，结合余弦函数的性质，即可得到答案．

解答：解：（I）函数f(x)=2

3

sin(x+

θ

2

)cos(x+

θ

2

)+2cos2(x+

θ

2

)+m
=

3

sin（2x+θ）+cos（2x+θ）+1+m
=2sin（2x+θ+

π

6

）+m+1
又∵图象的一个对称中心是(

π

4

，2)
∴

π

2

+θ+

π

6

=kπ，且m+1=2
又∵0＜θ＜

π

2

，
∴θ=

π

3

，m=1
（II）由（1）得，函数的解析式可化为f（x）=2sin（2x+

π

2

）+2=2cos2x+2
令2kπ≤2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ≤x≤kπ+

π

2

，k∈Z，
则f（x）的单调递减区间为[kπ，kπ+

π

2

]，（k∈Z），
（III）若log

1

2

f(x)＞0
即0＜f（x）＜1
即0＜2cos2x+2＜1
即-1＜cos2x＜-

1

2

即2x∈（2kπ+

2π

3

，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+

4π

3

），（k∈Z），
即x∈（kπ+，kπ+

π

2

）∪（kπ+

π

2

，kπ+

2π

3

），（k∈Z）．

点评：本题考查的知识点是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的性质，余弦型函数的单调性及余弦函数的性质，其中根据二倍角公式，及辅助角公式，结合正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的性质及已知中函数图象的一个对称中心是(

π

4

， 2)，构造关于θ和m的方程，求出函数的解析式，是解答本题的关键．