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    如图，在直角坐标系xOy中，有一组对角线长为an的正方形AnBnCnDn（n=1，2，…），其对角线BnDn依次放置在x轴上（相邻顶点重合）．设{an}是首项为a，公差为d（d＞0）的等差数列，点B1的坐标为（d，0）．
    （1）当a=8，d=4时，证明：顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
    （2）在（1）的条件下，证明：所有顶点An均落在抛物线y2=2x上；
    （3）为使所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，求a与d之间所应满足的关系式．

    【答案】分析：（1）求出A1A2、A1A3的斜率，利用斜率不相等，即可得到结论；
    （2）确定顶点An的横坐标、纵坐标，即可证得结论；
    （3）顶点An的横、纵坐标，消去n-1，利用所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，即可求a与d之间所应满足的关系式．
    解答：（1）证明：由题意可知，A1（8，4），A2（18，6），A3（32，8），
    ∴．
    ∵，
    ∴顶点A1、A2、A3不在同一条直线上；
    （2）证明：由题意可知，顶点An的横坐标=2（n+1）2，
    顶点An的纵坐标．
    ∵对任意正整数n，点An（xn，yn）的坐标满足方程y2=2x，
    ∴所有顶点An均落在抛物线y2=2x上．
    （3）解：由题意可知，顶点An的横、纵坐标分别是，
    消去n-1，可得
    为使得所有顶点An均落在抛物线y2=2px（p＞0）上，则有
    解之，得d=4p，a=8p．
    ∴a，d所应满足的关系式是：a=2d．
    点评：本题考查曲线与方程，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．
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    （2009•杭州二模）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于圆x2+y2=1．已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m（k＞0），记角A，B，C所对的边分别是a，b，c．
    （1）若3k=
    2ac
    a2+c2-b2
    ，求cos2
    A+C
    2
    +sin2B    的值；
    （2）若k=2，记∠xOA=α(0＜α＜
    π
    2
    )，∠xOB=β(π＜β＜
    3π
    2
    )，求sin(α+β)    的值．

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    精英家教网如图，在直角坐标系中，中心在原点，焦点在X轴上的椭圆G的离心率为e=
    		15
    4
    ，左顶点A（-4，0），圆O'：（x-2）2+y2=r2是椭圆G的内接△ABC的内切圆．
    （Ⅰ） 求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）求圆O'的半径r；
    （Ⅲ）过M（0，1）作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，判断直线EF与圆O'的位置关系，并证明．

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    （2013•石景山区二模）如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(
    π
    6
    ，
    π
    2
    )    ．将角α的终边按逆时针方向旋转
    π
    3
    ，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
    （Ⅰ）若x1=
    1
    3
    ，求x2；
    （Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=2S2，求角α的值．

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    π
    3
    ，
    π
    2
    )    ．将角α的终边按逆时针方向旋转
    π
    6
    ，交单位圆于点B．记A（x1，y1），B（x2，y2）．
    （Ⅰ）若x1=
    1
    4
    ，求x2； 
    （Ⅱ）分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1=S2，求角α的值．

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    		3
    x+3y=0（x≥0），过点P（a，0）（a＞0）作直线l分别交射线OA，OB于A，B两点，且
    AP
    =2
    PB
    ，则直线l的斜率为
     
    ．

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