Question

8．若对任意的x＞1，函数x+xlnx≥k（3x-e）（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…），则实数k的最大值为1．

Answer 1

分析 根据题意，把不等式x+xlnx≥k（3x-e）化为$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k，
设f（x）=$\frac{x+xlnx}{3x-e}$，x＞1，利用导数求出f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值即可．

解答 解：∵x＞1，∴3x＞3，∴3x-e＞0；
不等式x+xlnx≥k（3x-e）可化为$\frac{x+xlnx}{3x-e}$≥k，
设f（x）=$\frac{x+xlnx}{3x-e}$，x＞1；
则f′（x）=$\frac{（2+lnx）（3x-e）-3（x+xlnx）}{{（3x-e）}^{2}}$=$\frac{3x-2e-elnx}{{（3x-e）}^{2}}$，
令g（x）=3x-2e-elnx，x＞1；
则g′（x）=3-$\frac{e}{x}$=$\frac{3x-e}{x}$，
令g′（x）=0，解得x=$\frac{e}{3}$＜1，
∴在x∈（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）是单调增函数；
又g（e）=0，∴x∈（1，e）时，g（x）＜0，则f′（x）＜0，f（x）是单调减函数；
x∈（e，+∞）时，g（x）＞0，则f′（x）＞0，f（x）是单调增函数；
∴f（x）在x∈（1，+∞）上的最小值是f（x）_min=f（e）=$\frac{e+elne}{3e-e}$=1；
∴1≥k，即实数k的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是综合性题目．