Question

已知函数f（x）=（x²+ax+a）e^x．
（1）若a=1，求函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若a≤2，f（x）的极大值为3，求出a的值．

Answer 1

分析：（1）把a=2代入，对函数求导，求得切线斜率及切点的坐标，从而可求切线方程；
（2）由f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），知f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，由a≤2，且f（x）的极大值为3，能求出实数a的值．

解答：解：由题意知：f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x=[x²+（a+2）x+2a]e^x
（1）当a=1时，f′（x）=[x²+3x+2]e^x，则：f′（0）=2，f（0）=1
所以函数y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为：y=2x+1；
（2）∵f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），
∴f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x
=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，
∵a≤2，∴-a≥-2，列表讨论

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴x=-2时，f（x）取极大值f（-2）=（4-2a+a）e^-2=（4-a）e^-2，
∵a≤2，且f（x）的极大值为3，
∴（4-a）e^-2=3，
∴a=4-3e²．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与极值，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想和等价转化思想及导数性质的合理运用．