练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F-A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．
    （1）求y关于θ的函数关系式；
    （2）当θ取何值时，y取得最小值？

    【答案】分析：（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于θ的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用θ表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于θ的函数关系式；
    （2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=时函数取得极小值，也就是最小值．
    解答：解：如图，

    （1）延长EF与地面交于O1，由题意知：∠A1FO1=θ，且，
    从而EF=h-，，
    则，．
    （2），
    设，
    令=
    =．
    得：1-2cosθ=0，所以．
    当θ∈时，f′（θ）＜0．
    当θ∈时，f′（θ）＞0．
    设，其中，∴．
    ∴，∴时，y最小．
    答：当时，灯架造价取得最小值．
    点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•江苏一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托
    EA
    ，
    EB
    ，
    EC
    ，
    ED
    所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA1，FB1，FC1，FD1是正四棱锥F-A1B1C1D1的四条侧棱，正方形A1B1C1D1的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米
    a
    3
    （元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．
    （1）求y关于θ的函数关系式；
    （2）当θ取何值时，y取得最小值？

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案