Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线x=﹣2与椭圆交于P，Q两点，A，B是椭圆上位于直线x=﹣2两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

⑴设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)，由已知可得b=2，，由此求出答案

⑵先求出，设直线AB的方程为,与联立得，由此利用根的判别式，韦达定理，椭圆弦长公式，结合已知能求出答案

(1)椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,

故设椭圆标准方程为=1(a>b>0).

∵椭圆的离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点(0,2),

∴b=2,e=,a2=b2+c2,

∴解得a2=16,b2=12,

∴椭圆C的标准方程为=1.

(2)直线x=-2与椭圆=1交点P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q(-2,3),

∴|PQ|=6.

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=x+m,与=1联立得x2+mx+m2-12=0.

由Δ=m2-4(m2-12)>0,得-4<m<4.

由根与系数的关系得x1+x2=-m,x1x2=m2-12.

由A,B两点位于直线x=-2两侧,

得(x1+2)(x2+2)<0,

即x1x2+2(x1+x2)+4<0,

∴m2-2m-8<0,解得-2<m<4,

∴S=·|PQ|·|x1-x2|=·|PQ|·=3,

∴当m=0时,S最大值为12.