Question

某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC内的P点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC边上选一点D，然后过点P和点D画一分界线与边AB相交于点E，在△ADE区域内绿化，在四边形BCDE区域内修建运动场所．现已知点P处的服务站与AC距离为10米，与BC距离为100米．设DC=d米，试问d取何值时，运动场所面积最大？

Answer 1

分析：解法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，得到C、A、B、P、D的坐标，再写出直线DE、AB的方程，由此联立解出E的坐标，进而表示△ADE的面积，利用基本不等式的知识分析可得答案；
解法二：分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，分情况讨论可得EF的长度，进而可以表示△ADE的面积，再利用基本不等式的知识分析可得答案．

解答：解：法一：以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立直角坐标系，
则C（0，0），A（0，180），B（90，0），P（10，100），D（0，d）．
DE直线方程：y-100=

d-100

-10

(x-10)，①
AB所在直线方程为2x+y=180，②
解①、②组成的方程组得，xE=

10d-1800

d-120

，
∵直线DE经过点B时d=

225

2

，
∴0＜d＜

225

2

，
S△ADE=

1

2

AD•|xE|=

1

2

•(180-d)•

10d-1800

d-120

设120-d=t∈(

15

2

，120)，S△ADE=5•

(60+t)2

t

=5•(t+

3600

t

+120)，
∵t+

3600

t

≥120（当且仅当t=60，即k=4时取等号），
此时d=120-t=60，
∴当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大．
法二：如图，分别过点P，E作AC的垂线，垂足为Q，F，设EF=h，
若如图1所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=100-d，
由△AFE～△ACB得

AF

180

=

h

90

，即AF=2h，从而CF=180-2h，DF=180-2h-d，
由△DPQ～△DEF得

10

h

=

100-d

180-2h-d

，解得h=

1800-10d

120-d

若如图2所示，则PQ=10，CQ=100，DQ=d-100，AF=2h，CF=180-2h，DF=2h+d-180，由△DPQ～△DEF得

10

h

=

100-d

180-2h-d

，
解得h=

1800-10d

120-d

；
由0＜h＜90得0＜d＜

225

2

，
由S△ADE=

1

2

AD•h=

1

2

•(180-d)•

10d-1800

d-120

，
设120-d=t∈(

15

2

，120)，
S△ADE=5•

(60+t)2

t

=5•(t+

3600

t

+120)，
∵t+

3600

t

≥120（当且仅当t=60，即k=4时取等号），
此时d=120-t=60，
∴当d=60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大．

点评：本题考查基本不等式的应用，关键是根据题意，建立正确的模型，得到关于关于三角形面积的不等关系式．