Question

（2013•上海）如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中∠B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积．

Answer 1

分析：设出矩形的边FP的边长，利用三角形相似求出矩形的宽，表示出矩形面积，利用二次函数的最值求解即可．

解答：解：如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0＜x＜40，
健身房占地面积为y平方米．因为△CFP∽△CBA，
以

FP

BA

=

CF

CB

，

x

40

=

50-BF

50

，求得BF=50-

5

4

x，
从而y=BF•FP=（50-

5

4

x）x
=-

5

4

x2+50x
=-

5

4

(x-20)2+500
≤500．
当且仅当x=20时，等号成立．
答：该健身房的最大占地面积为500平方米．

点评：本题考查函数的实际应用，表示出函数的表达式是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．