Question

13．已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求 $\frac{{x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}+2}{x+{x}^{-1}+1}$的值．

Answer 1

分析 由x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2，${x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}-4}$，代入即可得出．

解答 解：∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴x+x^-1=$（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=7，
${x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}$=±$\sqrt{（{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}-4}$=±$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{x}^{\frac{1}{2}}-{x}^{-\frac{1}{2}}+2}{x+{x}^{-1}+1}$=$\frac{±\sqrt{5}+2}{7+1}$=$\frac{2±\sqrt{5}}{8}$．

点评 本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了变形能力、计算能力，属于中档题．