Question

△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a²+2b²-c²=0，（1）求tanAcotC的值；（2）当A为何值时，tanB取最大值．

Answer 1

解：（1）由a²+2b²-c²=0，可得 c²=a²+2b²，故C为钝角．
利用同角三角函数的基本关系，以及正弦定理和余弦定理可得
tanAcotC=====-．
（2）由tanAcotC=，可得tanA=tanC，即 tanC=-3tanA．
又tanB=tan[π-（A+C）]=-tan（A+C）=-=-==．
由tanA＞0 可得 ≥2，当且仅当tanA=时，等号成立．
∴的最大值等于=，故tanB 的最大值等于 ．
分析：（1）由a²+2b²-c²=0，可得 c²=a²+2b²，故C为钝角，利用同角三角函数的基本关系，以及正弦定理和余弦定理 化简
tanAcotC 为-．
（2）由tanAcotC=，可得tanC=-3tanA，根据tanB=-tan（A+C），利用两角和的正切公式可化为
，由基本不等式求出它的最大值．
点评：本题主要考查两角和差的正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系的应用，以及利用基本不等式求式子的最值，
式子的变形，是解题的难点，属于中档题．