Question

过点P（0，2）的直线L与抛物线y²=2x有且只有一个公共点，则直线L的方程是

x=0，y=2，y=

1

4

x+2

．

Answer 1

分析：设直线L的斜率等于k，则当 k=0时，直线l与其对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有一个公共点；再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．

解答：解：①设直线L的斜率存在且等于k，
则当 k=0时，直线L的方程为 y=2，满足直线与抛物线y²=2x仅有一个公共点；
当k≠0时，直线L是抛物线的切线，设直线L的方程为 y=kx+2，
代入抛物线的方程可得：k²x²+（4k-2）x+4=0，
由△=（4k-2）²-4k²•4=0得 k=

1

4

，故切线方程为y=

1

4

x+2．
②当斜率不存在时，直线方程为x=0，经过检验可得此时直线也与抛物线y²=2x相切．
故答案为：y=2，或 x=0，或y=

1

4

x+2．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决本题的关键是熟练掌握只有一个公共点的概念，即直线与抛物线相切或者直线与抛物线的对称轴平行，易错点在于忽视与对称轴平行的情况，属于中档题．．