Question

给定 A （-2，2），已知 B 是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上的动点，F 是左焦点，当|AB|+

5

3

|BF|取最小值时，求B的坐标．

Answer 1

分析：由椭圆的第二定义e=

|BF|

|BN|

=

3

5

可求得BN|=

5

3

|BF|，利用化折为直的思想即可求得当|AB|+

5

3

|BF|取最小值时，B 的坐标．

解答：解：记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a、b、c，离心率为e．则a=5，b=4，c=

a2-b2

=

52-42

=3，
e=

c

a

=

3

5

，左准线为x=-

25

3

．
过点B作左准线x=-

25

3

的垂线，垂足为N，过A作此准线的垂线，垂足为M．由椭圆定义，
|BN|=

|BF|

e

=

5

3

|BF|．
于是，|AB|+

5

3

|BF|=|AB|+|BN|≥|AN|≥|AM|（定值），等号成立当且仅当B是AM与椭圆的交点时，此时B（-

5 3

2

，2）
所以，当|AB|+

5

3

|BF|取最小值时，B的坐标为（-

5 3

2

，2）．

点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆第二定义的应用，考查转化与方程思想，求得BN|=

5

3

|BF|是关键，也是难点，属于中档题．