Question

在不等边△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知sin²A，sin²B，sin²C依次成等差数列，给定数列

cosA

a

，

cosB

b

，

cosC

c

．
（1）试根据下列选项作出判断，并在括号内填上你认为是正确选项的代号

B

．
A．是等比数列而不是等差数列　　B．是等差数列而不是等比数列
C．既是等比数列也是等差数列　　D．既非等比数列也非等差数列
（2）证明你的判断．

Answer 1

分析：（1）因为sin²A、sin³B、sin²C成等差数列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，所以2b²=a²+c²．结合斜弦定理，从而得出正确选项即可；
（2）根据条件sin²A、sin³B、sin²C成等差数列，利用正弦定理得出三角形边的关系式，又结合余弦定理化简

cosB

b

=

a2+c2-b2

2abc

，

cosA

a

=

b2+c2-a2

2abc

，

cosC

c

=

a2+b2-c2

2abc

．从而得出即

cosA

a

、

cosB

b

、

cosC

c

成等差数列．下面利用反证法证明不是等比数列，先假设其为等比数列，经过推理得出与题设矛盾．

解答：解：（1）因为sin²A、sin³B、sin²C成等差数列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，
所以2b²=a²+c²．
故选：B．
（2）因为sin²A、sin³B、sin²C成等差数列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，
所以2b²=a²+c²．又

cosB

b

=

a2+c2-b2

2abc

，

cosA

a

=

b2+c2-a2

2abc

，

cosC

c

=

a2+b2-c2

2abc

．
显然

2cosB

b

=

cosA

a

+

cosC

c

，
即

cosA

a

、

cosB

b

、

cosC

c

成等差数列．
若其为等比数列，有

cosA

a

=

cosB

b

=

cosC

c

，
所以tanA=tanB=tanC，A=B=C，与题设矛盾．

点评：本小题主要考查正弦定理、余弦定理的应用、数列与三角函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，考查反证明法思想．属于基础题．