Question

11．若点P为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上的动点，G点满足$\overrightarrow{PG}$=2$\overrightarrow{GO}$（O是坐标原点），则G的轨迹方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{27}$=1
• B． $\frac{4{x}^{2}}{9}$+y²=1
• C． $\frac{9{x}^{2}}{4}$+3y²=1
• D． x²+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），G（x，y），则$\overrightarrow{PG}$=（x-x₀，y-y₀），$\overrightarrow{GO}$=（-x，-y），由$\overrightarrow{PG}$=2$\overrightarrow{GO}$，即可求得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3x}\\{{y}_{0}=3y}\end{array}\right.$，代入椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，即可求得G的轨迹方程．

解答 解：设P（x₀，y₀），G（x，y），由$\overrightarrow{PG}$=（x-x₀，y-y₀），$\overrightarrow{GO}$=（-x，-y），
由$\overrightarrow{PG}$=2$\overrightarrow{GO}$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{0}=-2x}\\{y-{y}_{0}=-2y}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=3x}\\{{y}_{0}=3y}\end{array}\right.$，
由P在椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，则$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$，
故选C．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查向量与圆锥曲线的应用，考查轨迹方程的求法，属于基础题．