Question

10．己知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足α_n=$\frac{1}{n}$（n∈N^*），若不等式S_2n-S_n＞$\frac{m}{24}$，对于n∈N^*恒成立，则自然数m的最大值为11．

Answer 1

分析 通过记T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，利用作差法可知数列{T_n}为递增数列，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，记T_n=S_2n-S_n=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$，
∵T_n+1-T_n=（$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$+$\frac{1}{n+n+1}$+$\frac{1}{n+n+2}$）-（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{n+n}$）
=$\frac{1}{n+n+1}$+$\frac{1}{n+n+2}$-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{n+n+1}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+2}$
＞0，
∴数列{T_n}为递增数列，
∴当n=1时，T_n取最小值T₁=S₂-S₁=${a}_{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$＞$\frac{m}{24}$，即m＜12，
故答案为：11．

点评 本题考查数列的通项，考查数列的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．