Question

已知不等式mx²-mx-1＜0．
（1）若对?x∈R不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对?x∈[1，3]不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分情况讨论：若m=0易判断；当m≠0时，则有

m＜0 △=m2+4m＜0

，解出m，综合两种情况即得m范围；
（2）令f（x）=mx²-mx-1，分三种情况进行讨论：当m=0时易判断；当m＞0时，由题意可得

f(1)＜0 f(3)＜0

，从而得m的不等式组；当m＜0时，数形结合可得f（1）＜0，三者结合可求得m的取值范围；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，由题意可得

g(-2)＜0 g(2)＜0

，解此关于x的不等式组即可求得x的范围；

解答：解：（1）要使不等式mx²-mx-1＜0恒成立，
①若m=0，显然-1＜0；
②若m≠0，则

m＜0 △=m2+4m＜0

，解得-4＜m＜0，
综上，实数m的取值范围是{m|-4＜m≤0}．
（2）令f（x）=mx²-mx-1，
①当m=0时，f（x）=-1＜0显然恒成立；
②当m＞0时，若对?x∈[1，3]不等式恒成立，只需

f(1)＜0 f(3)＜0

即可，
所以

f(1)=-1＜0 f(3)=9m-3m-1＜0

，解得m＜

1

6

，
所以0＜m＜

1

6

；
③当m＜0时，函数f（x）的图象开口向下，对称轴为x=

1

2

，若对?x∈[1，3]不等式恒成立，结合函数图象知只需f（1）＜0即可，解得m∈R，所以m＜0，
综上所述，实数m的取值范围是{m|m＜

1

6

}；
（3）令g（m）=mx²-mx-1=（x²-x）m-1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需

g(-2)＜0 g(2)＜0

即可，
所以

-2(x2-x)-1＜0 2(x2-x)-1＜0

，解得

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

，
所以实数x的取值范围是{x|

1- 3

2

＜x＜

1+ 3

2

}．

点评：本题考查函数恒成立及二次函数的性质，考查分类讨论思想、数形结合思想，解决恒成立问题的常用方法是转化为函数最值，有时采取数形结合会简化运算．