Question

已知函数．

（1）当时，求在的最小值；

（2）若存在单调递减区间，求的取值范围；

（3）求证：．

Answer 1

 解：（1），定义域为．

 ，   在上是增函数．

.

（2） 因为

因为若存在单调递减区间，所以有正数解.

即有的解 

当时，明显成立 .

②当时，开口向下的抛物线，总有的解；

③当时，开口向上的抛物线，

即方程有正根.

因为，

所以方程有两正根.

当时，；       

，解得．                              

综合①②③知：．                                    

（3）（法一）根据（1）的结论，当时，，即．

令，则有，    ．

，

．                                

 (法二)当时，．

，，即时命题成立．

设当时，命题成立，即 ．

时，．

根据（1）的结论，当时，，即．

令，则有，

则有，即时命题也成立．

因此，由数学归纳法可知不等式成立．