Question

已知二次函数及函数，函数在处取得极值．
（Ⅰ）求所满足的关系式；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对（Ⅰ）中任意的实数，直线与函数在上的图像恒有公共点？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，，
依题意得：，即，                            ……………4分
代入得
要使在处有极值，则须，即，          
所以所求满足的关系式为．         ……………5分
（Ⅱ）由题意得方程在时总有解，所以
在时总有解，       ……………6分
设，则，             ……………7分
①当且，时，，在时单调递减，，，； …8分
②当时，令得：，时，，单调递减，时，，单调递增，
，，
若，则，，
若，则，；               ………9分
③当时，，在时单调递增，
，，；  ……………10分
设集合，，
，，
所以要使直线与函数在上的图像恒有公共点，则实数的取值范围为：，所以存在实数满足题意，其取值范围为．

略