Question

【题目】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F分别在线段BC，AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF.

(1)在线段BC是否存在一点E，使得ND⊥FC ，若存在，求出EC的长并证明；

若不存在，请说明理由．

(2)求四面体NEFD体积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】

（1）EC＝3时符合；连接ED，交FC于点O，先证明FC⊥平面NED，再证明ND⊥FC.(2) 设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，再求出，再利用基本不等式求四面体NEFD体积的最大值.

（1）证明：EC＝3时符合；连接ED，交FC于点O，如图所示．

∵平面MNEF⊥平面ECDF，且NE⊥EF，平面MNEF∩平面ECDF＝EF，NE平面MNEF，∴NE⊥平面ECDF.

∵FC平面ECDF，∴FC⊥NE.

∵EC＝CD，∴四边形ECDF为正方形，∴FC⊥ED.

又∵ED∩NE＝E，ED，NE平面NED，

∴FC⊥平面NED.

∵ND平面NED，∴ND⊥FC.

(2)设NE＝x，则FD＝EC＝4－x，其中0<x<4，

由(1)得NE⊥平面FEC，

∴四面体NEFD的体积为，

所以，

当且仅当x＝4－x，即x＝2时，四面体NEFD的体积最大，最大值为2