Question

（2011•太原模拟）已知AC、BD为圆O：x²+y²=4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，

2

），则四边形ABCD的面积的最大值为

5

．

Answer 1

分析：设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂² =3，代入面积公式s=

1

2

AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

解答：解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEMF为矩形
已知OA=OC=2  OM=

3

，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，
则d₁²+d₂²=OM²=3．
四边形ABCD的面积为：s=

1

2

•|AC|（|BM|+|MD|），
从而：
s=

1

2

|AC|•|BD|=2

(4- d 2 1 )(4- d 2 2 )

≤8-(

d

2 1

+

d

2 2

)=5，
当且仅当d₁² =d₂²时取等号，
故答案为：5．

点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．解答关键是四边形面积可用互相垂直的2条对角线长度之积的一半来计算．