Question

设函数，数列满足．

⑴求数列的通项公式；

⑵设，若对恒成立，求实数的取值范围；

⑶是否存在以为首项，公比为的数列，，使得数列中每一项都是数列中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列的通项公式；若不存在，说明理由

Answer 1

(1)  (2)  (3)

解析:

⑴因为，

所以．…………………………………………………………………………2分

因为，所以数列是以1为首项，公差为的等差数列．

所以．…………………………………………………………………………4分

⑵①当时，

．…………………………………………………………………………6分

②当时，

．…………………………………………8分

所以

要使对恒成立，

只要使．

只要使，

故实数的取值范围为．……………………………………………………10分

⑶由，知数列中每一项都不可能是偶数．

①如存在以为首项，公比为2或4的数列，，

此时中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以为首项，公比为偶数的数列．……………………………………………………………………………………12分

②当时，显然不存在这样的数列．

当时，若存在以为首项，公比为3的数列，．

则，，，．

所以满足条件的数列的通项公式为．……………………………16分