Question

在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量

m

=(

3

，-2sinB)，

n

=(2cos2

B

2

-1，cos2B)，且

m

∥

n

．
（1）求锐角B的大小；
（2）设b=

3

，且B为钝角，求ac的最大值．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0．法一：

3

cos2B+sin2B=0，所以2sin(2B+

π

3

) =0，由此能求出∠B．法二：sin2B=-

3

cos2B．所以tan2B=-

3

．由此能求出∠B．
（2）由B为钝角，知B=

5π

6

，b=

3

，由余弦定理得：cosB=

a2+b2+c2

2ac

=-

3

2

，由此能求出ac的最大值．

解答：解：（1）由

m

∥

n

，
得

3

cos2B+2sinB•(2cos2

B

2

-1)=0（2分）
解法一：即

3

cos2B+sin2B=0∴2sin(2B+

π

3

)=0（5分）
∵B∈(0，

π

2

)，
∴2B+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，
∴2B+

π

3

=π，
即锐角B=

π

3

．（7分）
解法二：即sin2B=-

3

cos2B．
即tan2B=-

3

．（5分）
又∵B为锐角，
∴2B∈（0，π）．
∴2B=

2π

3

，
∴B=

π

3

．（7分）
（2）∵B为钝角，由（Ⅰ）知：B=

5π

6

，b=

3

，
∴由余弦定理得：cosB=

a2+b2+c2

2ac

=-

3

2

得：-

3

ac=a2+c2-3≥2ac-3，
∴ac≤6-3

3

，
∴ac的最大值为：6-3

3

．

点评：本题考查平面向量的应用，解题时要认真审题，注意三角函数的恒等式和余弦定理的灵活运用．