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(本小题满分15分)已知函数f(x)=,g(x)=alnx,a∈R.

(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;

(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;

(3)对(2)中的φ(a),证明:当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1

 

【答案】

解:(1)f′(x)=,g′(x)=(x>0),

 

 

∴两条曲线交点的坐标为(e2,e).切线的斜率为k=f′(e2)=

 

∴切线的方程为y-e= (x-e2).

(2)由条件知h(x)=-alnx(x>0),

∴h′(x)=

 

①当a>0时,令h′(x)=0,解得x=4a2

∴当0<x<4a2时,h′(x)<0,h(x)在(0,4a2)上单调递减;

当x>4a2时,h′(x)>0, h(x)在(4a2,+∞)上单调递增.

∴x=4a2是h(x)在(0,+∞)上的惟一极值点,且是极小值点,从而也是h(x)的最小值点.

∴最小值φ(a)=h(4a2)=2a-aln (4a2)=2a[1-ln (2a)].

【解析】略

 

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