Question

已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

（1）故曲线在处的切线方程为；（2）.

试题分析：（1）先将代入函数的解析式，并求出导数，然后分别求出与的值，最后利用点斜式求出切线方程；（2）将“函数在上是增函数”这一条件转化为“不等式在上恒成立”进行求解，结合参数分离法转化为“不等式在上恒成立”型不等式进行处理，即等价于“”，最后利用导数求出函数在上的最小值，从而得到参数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，则，
，，
故曲线在处的切线方程为，即；
（2）在上是增函数，则上恒成立，
，，
于是有不等式在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，令，解得，列表如下：

	减	极小值	增

故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，所以，
即实数的取值范围是.