Question

三个同学对问题“关于x的不等式x²+25+|x³-5x²|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用“不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”的想法：原式化为：a≤x+

25

x

+|x2-5x|
再利用：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”即可解决．

解答：解：由x²+25+|x³-5x²|≥ax，1≤x≤12?a≤x+

25

x

+|x2-5x|，
而x+

25

x

≥2

x• 25 x

=10，等号当且仅当x=5∈[1，12]时成立；
且|x²-5x|≥0，等号当且仅当x=5∈[1，12]时成立；
所以，a≤[x+

25

x

+|x2-5x|]min=10，等号当且仅当x=5∈[1，12]时成立；
故答案为（-∞，10]；

点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法、基本不等式在最值问题中的应用，是一道已给出解法提示，让解题者得到友情提醒的情况下答题，富有创意．