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    已知一曲线是与两个定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为的点的轨迹,求出曲线的方程.

    (x+1)2+y2=4.


    解析:

    在给定的平面直角坐标系中,设M(x,y)是曲线上的任意一点,点M在曲线上的条件是.

    由两点的距离公式,上式用坐标表示为.

    两边平方并化简,得曲线方程为x2+y2+2x-3=0.将方程配方,得(x+1)2+y2=4.

    ∴所求曲线是圆心为C(-1,0),半径为2的圆(如上图所示).

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    已知两定点A(0，－1)，C(0，2)，动点M满足∠MCA＝2∠MAC．

    (Ⅰ)求动点M的轨迹Q的方程；

    (Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且·＝0，直线AE与BF交于点P(x0，y0)，求证：为定值；

    (Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求证：过点和点E的直线是曲线Q的一条切线．

    (Ⅳ)在第(Ⅱ)问的条件下，试问是否存在点E使得·＝·(或||·|＝||·||)，若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．

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    (Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求证：过点p′(0，y0)和点E的直线是曲线Q的一条切线.

    (Ⅳ)在第(Ⅱ)问的条件下，试问是否存在点E使得(或)，若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由.

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