Question

（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知圆M：的切线与椭圆相交于A、B两点，求证：以AB为直径的圆过原点．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

（Ⅰ）由已知得，，故     4分
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时．
因为直线与圆M相切，故其中的一条切线方程为．
由不妨设，，
则以AB为直径的圆的方程为，显然过原点．      6分
②当直线的斜率存在时．
设直线的方程为．因为直线和圆M相切，所以圆心到直线的距离，整理，得， ①
由消去，得，
所以设，，则，．
所以．
所以．②
将①代入②，得，显然以AB为直径的圆经过定点O(0，0)
综上可知，以AB为直径的圆过定点(0，0)．（13分）       12分
【考点定位】本题考查椭圆的标准方程以及简单几何性质、圆的切线等基础知识，意在考查学生运用数形结合思想、转化与化归思想以及综合分析问题解决问题的能力以及运算能力．