Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

an+1    n≤3 2an?? n≥4

（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}前100项的和S₁₀₀．

Answer 1

分析：（1）根据a_n+1和a_n的关系式，当n≤3时，数列{a_n}是等差数列，当n≥4时，数列{a_n}是等比数列，据此课求出数列{a_n}的通项公式，
（2）首先写出{na_n}前100项的和的表达式，观察表达式的结构形式，把表达式各项乘以2，然后减去原先的表达式，进而进行等比数列求和．

解答：解：（1）根据题意，
当n≤3时，a_n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}是等差数列，
∴a_n=n（n≤3），
当n≥4时，a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，
∴a_n=2^n-4（n≥4）
∴an=

n   n≤3 2n-2?n≥4

，
（2）S₁₀₀=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+5a₅++100a₁₀₀
=1+2×2+3×3+4×2²+5×2³++100×2⁹⁸
设T=4×2²+5×2³+6×2⁴++99×2⁹⁷+100×2⁹⁸①
2T=4×2³+5×2⁴++99×2⁹⁸+100×2⁹⁹②
由①-②得：-T=4×2²+2³+2⁴++2⁹⁸-100×2⁹⁹
=2⁴+

23(1-296)

1-2

-100×2⁹⁹
=-99×2⁹⁹+8∴T=99×2⁹⁹-8；
∴S₁₀₀=99×2⁹⁹+6．

点评：本题主要考查数列求和的知识点，还考查等差数列、等比数列等基础知识，需要有较强的运算求解能力．