Question

（2013•日照二模）已知函数f（x）=a（x-1）²+1nx（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a=-

1

4

时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组

x≥1 y≤x-1

所表示的区域内，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），由题意知x₁、x₂是方程f'（x）=0的两个不相等的实根，建立不等关系解之即可；
（II）在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出单调区间；
（III）由题意得a(x-1

)

2

+lnx≤x-1对x∈[1，+∞）恒成立，设g(x)=a(x-1

)

2

+lnx-x+1，x∈[1，+∞)则问题转化为：使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，利用导数结合对字母a分类讨，论研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=2a(x-1)+

1

x

=

2a(x-1)x+1

x

由已知f'（x）=0两个相异正实数根x₁，x₂，即2ax（x-1）+1=0有两相异正根，则必有a＞0，从而

a＞0 △=4a2-8a＞0

解得a＞2．…（4分）
（Ⅱ）a=-

1

4

，f(x)=-

1

4

(x-1)2+lnx，(x＞0)，
∴f′(x)=-

1

2

x+

1

2

+

1

x

=

-x2+x+2

2x

=

-(x-2)(x+1)

2x

，
所以，当0＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间是（0，2）；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）的单调递减区间是（2，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）由题意得a(x-1

)

2

+lnx≤x-1对x∈[1，+∞）恒成立，
设g(x)=a(x-1

)

2

+lnx-x+1，x∈[1，+∞)则使g（x）_max≤0，x∈[1，+∞）成立，
求导得g′(x)=

2a x 2   -(2a+1)x+1

x

=

(2ax-1)(x-1)

x

，
（1）当a≤0时，若x＞1，则g'（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（1）=0．
（2）当0＜a≤

1

2

时，x=

1

2a

＞1，则g（x）在[1，

1

2a

]单调递减，[

1

2a

，+∞)单调递增，
存在

1

a

∈[

1

2a

，+∞)，有g(

1

a

)=a(

1

a

-1)2+ln

1

a

-

1

a

+1=-lna+a-1＞0，
所以不成立．
（3）当a≥

1

2

时，x=

1

2a

≤1则g'（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）单调递增，
所以存在x＞1，使得g（x）＞g（1）=0，则不符合题意．
综上所述a≤0．…（13分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．