练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是函数f(x)=
    2x
    2x+
    		2
    图象上的两点，且
    OP
    =
    1
    2
    (
    OP1
    +
    OP2
    )    ，点P的横坐标为
    1
    2
    ．
    （1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
    （2）若Sn=
    n
    i=1
    f(
    i
    n
    )，n∈N*    ，求Sn；
    （3）记Tn为数列{
    1
    (Sn+
    		2
    )(Sn+1+
    		2
    )
    }    的前n项和，若Tn＜a(Sn+1+
    		2
    )    对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
    ①an-1+1=
    an
    n
    ；
    ②(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )(1+
    1
    a3
    )…(1+
    1
    an
    )≤3-
    1
    n
    分析：（1）由
    OP
    =
    1
    2
    (
    OP1
    +
    OP2
    )    得到P是P1P2的中点?x1+x2=1?y1+y2=1得到yp即可；
    （2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，而Sn=f(
    1
    n
    ) +f(
    2
    n
    ) +…+f(
    n-1
    n
    ) +f(
    n
    n
    )    能写成Sn=f(
    n
    n
    ) +f(
    n-1
    n
    )+…+f(
    2
    n
    )  +f(
    1
    n
    )    ，两者相加可得Sn；
    （3）先表示Tn的同项公式，求出之和，根据Tn＜a(Sn+1+
    		2
    )    利用基本不等式求出a的取值范围即可．
    解答：解：（1）∵
    OP
    =
    1
    2
    (
    OP1
    +
    OP2
    )    ，
    ∴P是P1P2的中点?x1+x2=1y1+y2=f(x1)+f(x2)=
    2x1
    2x1+
    		2
    +
    2x2
    2x2+
    		2
    =
    2x1
    2x1+
    		2
    +
    21-x1
    21-x1+
    		2
    =
    2X1
    2X1+
    		2
    +
    		2
    2X1+
    		2
    =1
    ∴yp=
    1
    2
    (y1+y2)=
    1
    2

    （2）由（1）知x1+x2=1，f（x1）+f（x2）=y1+y2=1，f(1)=2-
    		2
    ，Sn=f(
    1
    n
    ) +f(
    2
    n
    ) +…+f(
    n-1
    n
    ) +f(
    n
    n
    )    ，Sn=f(
    n
    n
    ) +f(
    n-1
    n
    )+…+f(
    2
    n
    )  +f(
    1
    n
    )
    相加得2Sn=f(n)+[f(
    1
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )] +[f(
    2
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )]+…+[f(
    n-1
    n
    )+f(
    1
    n
    )] +f(1)    =2f（1）+1+1+…+1=n+3-2
    		2
    （n-1个1）
    ∴Sn=
    n+3-2
    		2
    2

    （3）
    1
    (Sn+
    		2
    )(Sn+1+
    		2
    )
    =
    1
    n+3
    2
    •
    n+4
    2
    =
    4
    (n+3)(n+4)
    =4(
    1
    n+3
    -
    1
    n+4
    )
    Tn=4[(
    1
    4
    -
    1
    5
    )+(
    1
    5
    -
    1
    6
    )+…+(
    1
    n+3
    -
    1
    n+4
    )] =
    n
    n+4

    Tn＜a(Sn+1+
    		2
    )?a＞
    Tn
    Sn+1+
    		2
    =
    2n
    (n+4)2
    =
    2
    n+
    16
    n
    +8

    ∵n+
    16
    n
    ≥8    ，当且仅当n=4时，取“=”
    ∴
    2
    n+
    16
    n
    +8
    ≤
    2
    8+8
    =
    1
    8
    ，因此，a＞
    1
    8
    点评：考查学生运用数列及数列求和的能力，理解掌握指数函数性质的能力，以及会用基本不等式证明的能力．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q，记作Q=f（P）．设P1（x1，y1），P2=f（P1），P3=f（P2），…，Pn=f（Pn-1），…．如果存在一个圆，使所有的点Pn（xn，yn）（n∈N*）都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点Pn（xn，yn）的一个收敛圆．特别地，当P1=f（P1）时，则称点P1为映射f下的不动点．若点P（x，y）在映射f下的象为点Q(-x+1，
    12
    y)    ．
    （Ⅰ）求映射f下不动点的坐标；
    （Ⅱ）若P1的坐标为（2，2），求证：点Pn（xn，yn）（n∈N*）存在一个半径为2的收敛圆．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N）是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0）的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
    （1）若C的方程为
    x2
    100
    +
    y2
    25
    =1，n=3．点P1（10，0）及S3=255，求点P3的坐标；（只需写出一个）
    （2）若C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值；
    （3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1，对于给定的自然数n，写出符合条件的点P1，P2，…Pn存在的充要条件，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设P1（x1，y1），P1（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（n≥3，n∈N） 是二次曲线C上的点，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，…，an=|OPn|2构成了一个公差为d（d≠0） 的等差数列，其中O是坐标原点．记Sn=a1+a2+…+an．
    （1）若C的方程为
    x2
    9
    -y2=1，n=3．点P1（3，0） 及S3=162，求点P3的坐标；（只需写出一个）
    （2）若C的方程为y2=2px（p≠0）．点P1（0，0），对于给定的自然数n，证明：（x1+p）2，（x2+p）2，…，（xn+p）2成等差数列；
    （3）若C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）．点P1（a，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求Sn的最小值．
    符号意义 本试卷所用符号 等同于《实验教材》符号
    向量坐标
    a
    ={x，y}
    a
    =（x，y）
    正切 tg tan

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    a•2x
    2x+
    		2
    的图象过点(0，
    		2
    -1)    ．
    （1）求f（x）的解析式；
    （2）设P1（x1，y1），P2（x2，y2）为y=f（x）的图象上两个不同点，又点P（xP，yP）满足：
    OP
    =
    1
    2
    (
    OP1
    +
    OP2
    )    ，其中O为坐标原点．试问：当xP=
    1
    2
    时，yP是否为定值？若是，求出yP的值，若不是，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案