Question

2．已知函数f（x）=2lnx-xlna有两个零点，则a的取值范围为（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，e）
• C． （1，e${\;}^{\frac{2}{e}}$）
• D． （e${\;}^{\frac{2}{e}}$，e）

Answer 1

分析 判断函数的单调性和极值点，令极大值大于零解出a即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{2}{x}-lna$．
令f′（x）=0得x=$\frac{2}{lna}$．
f（x）的定义域为（0，+∞）．
若$\frac{2}{lna}$≤0，即0＜a＜1，则f（x）在（0，+∞）上单调递增，与f（x）有两个零点矛盾，不符合题意；
若$\frac{2}{lna}＞0$，即a＞1，则f（x）在（0，$\frac{2}{lna}$）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，
∴当x=$\frac{2}{lna}$时，f（x）取得最大值f_max（x）=f（$\frac{2}{lna}$）=2ln$\frac{2}{lna}$-2．
∵f（x）有两个零点，∴2ln$\frac{2}{lna}$-2＞0．
即ln$\frac{2}{lna}$＞1，∴$\frac{2}{lna}＞e$，即lna＜$\frac{2}{e}$．
∴a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$．
又a＞1，
∴1＜a＜e${\;}^{\frac{2}{e}}$．
故选：C．

点评 本题考查了函数单调性与函数零点的个数判断，导数与函数单调性的关系，属于中档题．