Question

P是双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）²+y²=9和（x-5）²+y²=4上的点，则|PM|-|PN|的最大值为

13

．

Answer 1

分析：先由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心，再利用平面几何知识把|PM|-|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|-|PN|的最大值．

解答：解：双曲线的两个焦点为F₁（-5，0）、F₂（5，0），为两个圆的圆心，半径分别为r₁=3，r₂=2，
|PM|_max=|PF₁|+3，|PN|_min=|PF₂|-2，
故|PM|-|PN|的最大值为（|PF₁|+3）-（|PF₂|-2）=|PF₁|-|PF₂|+5=2×4+5=13．
故答案为：13．

点评：本题主要考查双曲线的几何性质以及平面几何等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．