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对于两个定义域相同的函数f(x)、g(x),如果存在实数m、n使得h(x)=m•f(x)+n•g(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x)、g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+x和g(x)=x+2生成一个偶函数h(x),求h(数学公式)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范围;
(3)如果给定实系数基函数f(x)=k1x+b1,g(x)=k2x+b2(k1k2≠0),问:任意一个一次函数h(x)是否都可以由它们生成?请给出你的结论并说明理由.

解:(1)设h(x)=m(x2+x)+n(x+2)=mx2 +(m+n)x+2n,
∵h(x)是偶函数,∴m+n=0,∴h()=2m+2n=0.
(2)设h(x)=2x2+3x-1=m(x2+ax)+n(x+b)=mx2+(am+n)x+nb,
,解得
∴a+2b=-=--
由ab≠0知,n≠3,
∴a+2b∈(-∞,-)∪(,+∞).
(3)如果给定实系数基函数f(x)=k1x+b1,g(x)=k2x+b2(k1k2≠0),则任意一个一次函数h(x)都可以由它们生成.
证明:设任意一个一次函数h(x)=kx+h,且k≠0,
假设h(x)=mf(x)+ng(x),则有 kx+h=mk1x+mb1 +nk2x+nb2,解得 m=,n=
这说明,无论给任何一个一次函数 h(x)=kx+b,都可以用基函数f(x)=k1x+b1,g(x)=k2x+b2(k1k2≠0)来表示,问题得证.
分析:(1)先用待定系数法表示出偶函数h(x),再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程,求出参数的值,即得函数的解析式,代入自变量求值即可.
(2)先用待定系数法表示出偶函数h(x),再根据同一性建立引入参数的方程求参数,然后再求a+2b的取值范围;
(3)设任意一个一次函数h(x)=kx+h,且k≠0,假设h(x)=mf(x)+ng(x),解得 m=,n=,从而可得问题的结论是肯定的.
点评:本题考点是函数的奇偶性与单调性综合,考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数,本题涉及到函数的性质较多,综合性,抽象性很强,做题时要做到每一步变化严谨,才能保证正确解答本题,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

对于两个定义域相同的函数f(x),g(x),若存在实数m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x),g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范围;
(3)试利用“基函数f(x)=log4(4+1)、g(x)=x-1”生成一个函数h(x),使之满足下列件:①是偶函数;②有最小值1;求函数h(x)的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明).

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(1)若f(x)=x2+x和g(x)=x+2生成一个偶函数h(x),求h(
2
)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a,b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范围;
(3)如果给定实系数基函数f(x)=k1x+b1,g(x)=k2x+b2(k1k2≠0),问:任意一个一次函数h(x)是否都可以由它们生成?请给出你的结论并说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题7分,第(3)小题7分)

对于两个定义域相同的函数,如果存在实数使得,则称函数是由“基函数”生成的.

(1)若+2生成一个偶函数,求的值;

(2)若=2+3-1由函数∈R且≠0生成,求+2的取值范围;

(3)如果给定实系数基函数≠0,问:任意一个一次函数是否都可以由它们生成?请给出你的结论并说明理由.

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科目:高中数学 来源:2011年上海市八校区重点(新八校)高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

对于两个定义域相同的函数f(x),g(x),若存在实数m、n使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由“基函数f(x),g(x)”生成的.
(1)若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数h(x),求h(2)的值;
(2)若h(x)=2x2+3x-1由函数f(x)=x2+ax,g(x)=x+b(a、b∈R且ab≠0)生成,求a+2b的取值范围;
(3)试利用“基函数f(x)=log4(4+1)、g(x)=x-1”生成一个函数h(x),使之满足下列件:①是偶函数;②有最小值1;求函数h(x)的解析式并进一步研究该函数的单调性(无需证明).

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科目:高中数学 来源:2011年上海市八校区重点(新八校)高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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(1)若f(x)=x2+3x和个g(x)=3x+4生成一个偶函数h(x),求h(2)的值;
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