Question

下列5个命题：
①若3cosx+4sinx=5cos（x+φ），则sinφ=

4

5

，cosφ=

3

5

；
②函数y=tan(2x+

π

3

)关于点(

π

12

，0)对称；
③在△ABC中，cosA＞cosB成立的充要条件是A＜B；
④直线x=-

π

3

是函数y=sin(2x+

π

6

)的图象的一条对称轴；
⑤将函数y=3cos(3x+

3π

4

)的图象按向量

a

=(φ，0)平移后的图象关于原点成中心对称，且在(-

π

12

，

π

12

)上单调递减，则|φ|的最小值为

π

12

．
其中正确命题是

③④⑤

．（请将正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①若3cosx+4sinx=5cos（x+φ），则sinφ=-

4

5

，cosφ=

3

5

；②由当x=

π

12

时，y=tan(2x+

π

3

)=tan

π

2

，不存在，知函数y=tan(2x+

π

3

)不能关于点(

π

12

，0)对称；③由于余弦函数在（0，π）上是减函数，故A＜B的充要条件为cosA＞cosB；④函数y=sin(2x+

π

6

)的图象的对称轴：2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，即x=

kπ

2

+

π

6

，当k=-1时，为x=-

π

3

；⑤函数y=3cos(3x+

3π

4

)的图象按向量

a

=(φ，0)平移后的图象关于原点成中心对称，故3（x-φ）+

3π

4

=

π

2

或3（x-φ）+

3π

4

=

3π

2

，由平移后的图象y=3cos（3x+

3π

4

-3φ）在(-

π

12

，

π

12

)上单调递减，知|φ|的最小值φ=

π

12

．

解答：解：∵5cos（x+φ）=5cosxcos∅-5sinxsin∅，
∴若3cosx+4sinx=5cos（x+φ），
则sinφ=-

4

5

，cosφ=

3

5

，故①不正确；
∵当x=

π

12

时，y=tan(2x+

π

3

)=tan

π

2

，不存在，
∴函数y=tan(2x+

π

3

)不能关于点(

π

12

，0)对称，故②不正确；
在△ABC中，cosA＞cosB成立的充要条件是A＜B，是真命题，
由于余弦函数在（0，π）上是减函数，故A＜B的充要条件为cosA＞cosB，
故③正确；
函数y=sin(2x+

π

6

)的图象的对称轴：2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即x=

kπ

2

+

π

6

，当k=-1时，为x=-

π

3

，故④正确；
∵函数y=3cos(3x+

3π

4

)的图象按向量

a

=(φ，0)平移后的图象关于原点成中心对称，
∴3（x-φ）+

3π

4

=

π

2

或3（x-φ）+

3π

4

=

3π

2

，
解得φ=

π

12

，或φ=-

π

4

．
∵函数y=3cos(3x+

3π

4

)的图象按向量

a

=(φ，0)平移后的图象
y=3cos（3x+

3π

4

-3φ）在(-

π

12

，

π

12

)上单调递减，
∴|φ|的最小值φ=

π

12

，故⑤正确．
故答案为：③④⑤．

点评：本题考查命题的真假判断，解题时要认真审题，注意三角函数的灵活运用．