Question

已知（1+sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ（cosαcosβ≠0），设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析表达式；
（Ⅱ）若α角是一个三角形的最小内角，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平方关系式代换“1”，化简（1+sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ为tanα，tanβ的表达式，求出函数的表达式．
（Ⅱ）α角是一个三角形的最小内角，通过设函数g（x）=2x+

1

x

，利用函数的导数求出极值点，利用函数的单调性，求出函数的极值，然后确定函数f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）已知可变为（cos²α+2sin²α）sinβ=sinαcosαcosβ…（2分）
因为cosαcosβ≠0，（1+2tan²α）tanβ=tanα，y+2x²y=x，
所以y=

x

1+2x2

，即f（x）=

x

1+2x2

．…（5分）
（Ⅱ）因为α是三角形的最小内角，∴0＜α≤

π

3

，0＜x≤

3

，
设g（x）=2x+

1

x

，0＜x≤

3

，
g′（x）=2-

1

x2

，令g′（x）=0，解答x=

2

2

，
x∈(0，

2

2

]，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，
x∈[

2

2

，+∞)时，g′（x）＞0，函数g（x）是增函数，
所以g（x）在(0，

2

2

]是减函数，在[

2

2

，+∞)是增函数，
所以 当x=

2

2

时，g_min（x）=2

2

…（11分）
故函数f（x）的值域为(0，

2

4

]．

点评：本题考查三角函数的化简求值，函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力．