Question

已知f(x)=sin2(x-

π

6

)+sin2(x+

π

6

)+

3

sinxcosx．
（1）求f（x）的最大值以及取得最大值时自变量x的取值构成的集合；
（2）当自变量x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式，两角和及差的正弦及余弦函数公式，化简函数为sin(2x-

π

6

)+1，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）根据x的范围确定2x-

π

6

的范围，进而利用正弦定理的单调性求得函数的最值，求得函数的值域．

解答：解：f(x)=

1-cos(2x- π 3 )

2

+

1-cos(2x+ π 3 )

2

+

3

2

sin2x
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+1
=sin(2x-

π

6

)+1．                      …（6分）
（1）f（x）_max=2，
当2x-

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

3

（k∈Z）．
故f（x）取得最大值时自变量x的取值构成的集合是{x|x=kπ+

π

3

，k∈Z}．…（10分）
（2）因为x∈[-

π

12

，

5π

12

]，所以2x-

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，…（12分）
所以sin(2x-

π

6

)∈[-

3

2

，1]，
所以f（x）的值域为[-

3

2

+1，2]．                     …（14分）

点评：本题考查三角函数的化简求值、正弦函数的定义域和值域的求法，考查计算能力，基本知识掌握的熟练程度，高考常考题型．