Question

已知f(x)=sin(2x+

π

6

)+cos(2x-

π

3

)．
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（C）=1，c=2

3

，sinA=2sinB，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）由第一问确定出的f（x）解析式，根据f（C）=1求出C的度数，再由sinA=2sinB，利用正弦定理得到a=2b，利用余弦定理列出关系式，将c，cosC及a=2b代入求出a与b的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

6

，k∈Z时，函数f（x）取得最大值2；
（Ⅱ）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）=1，得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
∵

π

6

＜2C+

π

6

＜2π+

π

6

，
∴2C+

π

6

=

5π

6

，解得C=

π

3

，
∵sinA=2sinB，
∴根据正弦定理，得a=2b，
∴由余弦定理，有c²=a²+b²-2abcosC，即12=4b²+b²-2b²=3b²，
解得：b=2，a=4，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×4×2×sin

π

3

=2

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．