Question

已知f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]，则f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）=（　　）

• A．0
• B．

  3

• C．1
• D．2

  3

Answer 1

分析：利用和差角公式，可将函数解析式化为f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]=2sin(

π

3

x)，结合正弦函数的图象和性质，利用分组求和法，可得答案．

解答：解：∵f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]=2sin[

π

3

(x+1)-

π

3

]=2sin(

π

3

x)
又∵y=2sin(

π

3

x)（n∈Z）的值以6为周期呈周期性变化
且在一个周期内这6项的和为0
又∵2012÷6=335…2
∴f（1）+f（2）+…+f（2011）+f（2012）
=2（sin

π

3

+sin

2π

3

+sin

3π

3

+sin

4π

3

+sin

5π

3

+sin

6π

3

+…+sin

2011π

3

+sin

2012π

3

）
=2（sin

2011π

3

+sin

2012π

3

）
=2（sin

π

3

+sin

2π

3

）=2（

3

2

+

3

2

）=2

3

故选D

点评：本题考查的知识点是两角和与差的正弦函数，函数的值，正弦型函数的周期性，分组求和法，其中将函数的解析式化为f(x)=sin[

π

3

(x+1)]-

3

cos[

π

3

(x+1)]=2sin(

π

3

x)是解答的关键．