Question

设函数（1）当时，求的最大值；

(2)令，以其图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；(3)当时，方程有唯一实数解，求正数的值.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）依题意，知的定义域为………(1分)

        当时，

        ……（2分）

        令解得. 当时，，此时单调递增；

        当时，，此时单调递减；…………………（3分）

        所以的极大值为此即为最大值.………………（4分）

 （Ⅱ） 所以,在上恒成立，…（6分）

       所以………………………………（7分）

       当时，取得最大值，所以……………（9分）

（Ⅲ）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，设则 令,得  因为所以（舍去），…………（10分）

当时，在单调递减，

当时，在单调递增，

当时，取最小值…………（11分）

因为有唯一解，所以.则即

 所以

 因为所以   （*）…（12分）

 设函数

 因为当时，是增函数，所以至多有一解.……（13分）

因为所以方程（*）的解为，即解得………（14分）