Question

（2012•黑龙江）设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；
（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为4

2

；求p的值及圆F的方程；
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

Answer 1

分析：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=

2

p，由△ABD的面积S_△ABD=4

2

，知

1

2

×BD×d=

1

2

×2p×

2

p=4

2

，由此能求出圆F的方程．
（2）由对称性设A(x0，

x 2 0

2p

)(x0＞0)，则F(0，

p

2

)点A，B关于点F对称得：B(-x0，p-

x 2 0

2p

)⇒p-

x 2 0

2p

=-

p

2

?

x

2 0

=3p2，得：A(

3

p，

3p

2

)，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．

解答：解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p
点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=

2

p，
∵△ABD的面积S_△ABD=4

2

，
∴

1

2

×BD×d=

1

2

×2p×

2

p=4

2

，
解得p=2，
∴圆F的方程为x²+（y-1）²=8．
（2）由题设A(x0，

x 2 0

2p

)(x0＞0)，则F(0，

p

2

)，
∵A，B，F三点在同一直线m上，
又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．
由点A，B关于点F对称得：B(-x0，p-

x 2 0

2p

)⇒p-

x 2 0

2p

=-

p

2

?

x

2 0

=3p2
得：A(

3

p，

3p

2

)，直线m：y=

3p 2 - p 2

3 p

x+

p

2

?x-

3

y+

3 p

2

=0x2=2py?y=

x2

2p

⇒y′=

x

p

=

3

3

⇒x=

3

3

p⇒切点P(

3 p

3

，

p

6

)
直线n：y-

p

6

=

3

3

(x-

3 p

3

)?x-

3

y-

3

6

p=0
坐标原点到m，n距离的比值为

3 p

2

：

3 p

6

=3．

点评：本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．