Question

（2008•深圳一模）某旅游商品生产企业，2007年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输
出结果p元/件，年销售量为10000件，因2008年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.8x．已知得利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．
（Ⅰ）写出2008年预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（Ⅱ）为使2008年的年利润比2007年有所增加，问：投入成本增加的比例x应在什么范围内？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.8x和年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．
（Ⅱ） 要保证2008的利润比2007年有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．

解答：解：（Ⅰ）由流程图可知：p=1.2．依题意，得y=[1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）]×10000×（1+0.8x）=-800x²+600x+2000（0＜x＜1）；
（Ⅱ）要保证2008年的利润比2007年有所增加，当且仅当

y＞(1.2-1)×10000 0＜x＜1

，即

-800x2+600x＞0 0＜x＜1

．
解之得0＜x＜

3

4

．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜

3

4

点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．