Question

f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx，其中ω＞0，且f（x）的图象在y轴右侧第一个最高点的横坐标为

π

6

，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）写出f（x）的单调递减区间（只写结果不用写出步骤）；
（Ⅲ）由y=sinx的图象，经过怎样的变换，可以得到f（x）的图象？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式，通过f（x）的图象在y轴右侧第一个最高点的横坐标为

π

6

，求出ω，然后求f（x）的解析式；
（Ⅱ）直接通过正弦函数的单调减区间，写出f（x）的单调递减区间（只写结果不用写出步骤）；
（Ⅲ）由y=sinx的图象，向左平移

π

3

个单位，纵坐标不变；再向上平移

3

2

个单位，横坐标不变，就得到f（x）的图象．

解答：解：（Ⅰ）．f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx=

3

•

1+cos2ωx

2

+

1

2

sin2ωx（1分）
=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

（2分）
∵f（x）的图象在y轴右侧第一个最高点的横坐标为

π

6

∴2•

π

6

ω+

π

3

=

π

2

，解得ω=

1

2

（3分）
∴f(x)=sin(x+

π

3

)+

3

2

（4分）
（Ⅱ）．f（x）的单减区间是(2kπ+

π

6

，2kπ+

7π

6

)，k∈Z（8分）
（Ⅲ）将y=sinx向左平移

π

3

个单位，纵坐标不变；（10分）
再向上平移

3

2

个单位，横坐标不变，就得到f（x）的图象．（12分）．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数解析式的求法，函数图象的平行，考查计算能力．