Question

设函数f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx+α（其中ω＞0，α∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为

π

6

．
（I）求ω的值．
（II）如果f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值为

3

，求α的值．

Answer 1

分析：（I）先用三角恒等式将函数f（x）表达式化简，再将最高点的坐标代入即可求出ω的值．
（II）利用三角函数的性质求出f（x）在区间[-

π

3

，

5π

6

]上的最小值表达式，令其值为

3

，即可解出参数的值．

解答：解：（I）f（x）=

3

2

cos2ωx+

1

2

sin2ωx+

3

2

+α
=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

+α
依题意得2ω×

π

6

+

π

3

=

π

2

解之得ω=

1

2

（II）由（I）知f（x）=sin（x+

π

3

）+

3

2

+α
又当x∈[-

π

3

，

5π

6

]时，x+

π

3

∈[0，

7π

6

]
故-

1

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，
从而，f（x）在[-

π

3

，

5π

6

]上取得最小值-

1

2

+

3

2

+α
因此，由题设知-

1

2

+

3

2

+α=

3

解得α=

3 +1

2

答：（I）ω=

1

2

；（II）α=

3 +1

2

点评：考查三角函数的图象与性质，先用性质求参数的值，再由函数的单调性判断出函数的最小值的参数表达式，建立关于参数的方程，求出相应的参数．本题可以培养答题者运用知识灵活转化的能力．