Question

已知函数f(x)＝3－2log₂x，g(x)＝log₂x.

(1)如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域；

(2)求函数M(x)＝的最大值；

(3)如果不等式f(x²)f()>kg(x)对x∈[2,4]有解，求实数k的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）[0,2]．（2）当x＝2时，M(x)取到最大值为1.

（3）k<－2.

【解析】

试题分析：(1)h(x)＝(4－2log₂x)·log₂x＝－2(log₂x－1)²＋2，

∵x∈[1,4]，∴log₂x∈[0,2]，

∴h(x)的值域为[0,2]．

(2)：f(x)－g(x)＝3(1－log₂x)．

当x>2时，f(x)<g(x)；当0<x≤2时，f(x)≥g(x)．

∴M(x)＝＝

当0<x≤2时，M(x)最大值为1；

当x>2时，M(x)<1；

综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.

(3)由f(x²)f()>kg(x)得

(3－4log₂x)(3－log₂x)>k·log₂x，

令t＝log₂x，∵x∈[2,4]，∴t∈1,2]，∴存在t∈[1,2]使(3－4t)(3－t)>kt，

即k<= 4t＋－15成立

记h (x) = 4t＋－15,则k< h (x)max即可，易得h (x)max=-2

综上：k<－2.

考点：函数的最值

点评：解决的管家式利用对数式的运算，以及函数的性质，均值不等式来求解最值，属于中档题。