Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣1+aex ．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）求f（x）的极值；
（3）当a=1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣1没有公共点，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x﹣1+aex．求导，f′（x）=1+aex．

由f′（1）=0，1+ae=0，解得：a=﹣ ，

∴a的值﹣

（2）解：当a≥0，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上是增函数，无极值；

当a＜0时，令f′（x）=0，则ex=﹣ ，x=ln（﹣ ），

x＜ln（﹣ ），f′（x）＞0；当x＞ln（﹣ ），f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上单调递增，在（ln（﹣ ），+∞）单调递减，

f（x）在x=ln（﹣ ）处取极大值，且极大值f（ln（﹣ ））=﹣ln（﹣a）﹣2，无极小值

（3）解：当a=1时，f（x）=x﹣1+ex．

令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ex，

由题意可知：g（x）=0无实数解，

假设k＜1，此时g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

由函数g（x）的图象连续不断，由函数零点存在定理g（x）=0在R上至少有一解，

与方程g（x）=0，在R上没有实数解矛盾，故k≥1，

由k=1时，g（x）=ex，可知方程g（x）=0在R上没有实数解，

∴k的取值范围[1，+∞）

【解析】（1）求导，由题意可知f′（1）=0，即可求得a的值；（2）由（1）可知：分类讨论，根据导数与函数的单调性及极值的关系，即可求得f（x）的极值；（3）由题意可知g（x）=（1﹣k）x+ex=0无实数解，求导，根据函数的单调性及函数零点的判断，即可求得k的取值范围．
【考点精析】利用函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．