Question

设P（x，y）为曲线y=|

1

2

x²-1|上的一点，点A的坐标为（0，a）（a＞1）．求|PA|的最小值．

Answer 1

分析：首先画出曲线y=|

1

2

x²-1|的图象．根据图象分-

2

＜x＜

2

，x＜-

2

，或x＞

2

两种情况讨论|PA|的最小值．再通过a的取值．a＞4时，a²-4a＞0，即a-1＞

2a+1

，此时|PA|_min=

2a+1

；当1＜a≤4时，a²-4a≤0，即a-1≤

2a+1

，此时|PA|_min=a-1．从而确定|PA|的最小值．

解答：解：令

1

2

x²-1=0，则
x=±

2

．
∵a＞1
∴如图可知，
当-

2

＜x＜

2

时，|PA|≥a-1，
当x＜-

2

，或x＞

2

时，
|PA|=

x2+(y-a)2

=

x2+( 1 2 x2-1-a)2

=

1 4 x4-ax2+a2+2a+1

=

( 1 2 x2-a)2+2a+1

≥

2a+1

．
∵（a-1）²-（2a+1）=a²-4a，
∴a＞4时，a²-4a＞0，即a-1＞

2a+1

，
此时|PA|_min=

2a+1

；
当1＜a≤4时，a²-4a≤0，即a-1≤

2a+1

，
此时|PA|_min=a-1．

点评：本题考查数形结合以及分类讨论的思想，两点间的距离公式，不等式的解法及应用等知识的综合运用．属于难题．