已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2…的最小值记为Bn,dn=An-Bn
(Ⅰ)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值;
(Ⅱ)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(Ⅲ)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
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科目:高中数学 来源:2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷解析版) 题型:解答题
已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.
(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;
(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;
(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3…),则{an}的项只能是1或2,且有无穷多项为1.
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…,用反证法证明a3=2.
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